# 离散数学2.2-主析取/主合取范式

### 一、基础定义

**1\. 文字** 单个命题变元，或单个变元带一个否定号。

*   是文字：`p`、`¬q`、`r`
    
*   不是文字：`p ∧ q`、`¬(p ∨ q)`
    

**2\. 简单合取式** 若干个文字用 `∧` 连起来，内部只有 `∧`。

*   例：`p ∧ ¬q`、`¬p`、`p ∧ q ∧ r`
    
*   若里面出现 `A ∧ ¬A`，整个式子恒等于 0。
    

**3\. 简单析取式** 若干个文字用 `∨` 连起来，内部只有 `∨`。

*   例：`p ∨ ¬r`、`q`、`¬p ∨ q ∨ r`
    
*   若里面出现 `A ∨ ¬A`，整个式子恒等于 1。
    

**4\. 析取范式** 结构：多个简单合取式用 `∨` 连接。

*   形式：`(合取坨1) ∨ (合取坨2) ∨ ...`
    
*   例：`(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r) ∨ ¬q`
    
*   要求：无 `→`、`↔`，`¬` 只贴在单个变元上。
    

**5\. 合取范式** 结构：多个简单析取式用 `∧` 连接。

*   形式：`(析取坨1) ∧ (析取坨2) ∧ ...`
    
*   例：`(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ q`
    
*   要求：同上。
    

**6\. 极小项（主析取的"坨"）** n 个变元，每个变元**恰好出现一次**（原身或带否定）的简单合取式，记作 `mᵢ`。

2 变元 `p, q` 的全部极小项：

*   `m₀ = ¬p ∧ ¬q`
    
*   `m₁ = ¬p ∧ q`
    
*   `m₂ = p ∧ ¬q`
    
*   `m₃ = p ∧ q`
    

下标规则：变元取值 0 写 `¬`，取值 1 写原字母，二进制转十进制即下标。 性质：只有唯一一组赋值让该极小项为 1。

**7\. 主析取范式** 所有"坨"都是极小项的析取范式，用 `∨` 连接。

*   例：`m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`
    
*   单个极小项也合法：`m₃`
    

**8\. 极大项（主合取的"坨"）** n 个变元，每个变元**恰好出现一次**（原身或带否定）的简单析取式，记作 `Mᵢ`。

2 变元 `p, q` 的全部极大项：

*   `M₀ = p ∨ q`
    
*   `M₁ = p ∨ ¬q`
    
*   `M₂ = ¬p ∨ q`
    
*   `M₃ = ¬p ∨ ¬q`
    

下标规则：变元取值 0 写原字母，取值 1 写 `¬`，二进制转十进制即下标。 性质：只有唯一一组赋值让该极大项为 0。

**9\. 主合取范式** 所有"坨"都是极大项的合取范式，用 `∧` 连接。

*   例：`M₀ ∧ M₂`
    
*   单个极大项也合法：`¬p ∨ q`（即 `M₂`）
    

* * *

### 二、通用前置步骤

求任何范式，先做这三步：

1.  **消** `→`：`A → B` ⇔ `¬A ∨ B`
    
2.  **消** `↔`：`A ↔ B` ⇔ `(A → B) ∧ (B → A)`，再把 `→` 消掉
    
3.  `¬` **内移**（德摩根律）：
    
    *   `¬(A ∨ B)` ⇔ `¬A ∧ ¬B`
        
    *   `¬(A ∧ B)` ⇔ `¬A ∨ ¬B`
        
    *   处理完 `¬` 只贴单个字母
        

然后根据目标选分配律：

*   **要析取范式**：用 `A ∧ (B ∨ C)` ⇔ `(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)`
    
*   **要合取范式**：用 `A ∨ (B ∧ C)` ⇔ `(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)`
    

* * *

### 三、补变量方法

**口诀：**

*   求主析取（合取坨缺变量）：补 `x ∨ ¬x`
    
    *   因为合取坨外面隐含 `∧ 1`，而 `1 = x ∨ ¬x`
        
*   求主合取（析取坨缺变量）：补 `x ∧ ¬x`
    
    *   因为析取坨外面隐含 `∨ 0`，而 `0 = x ∧ ¬x`
        

* * *

### 四、例题

**题型1：求主析取范式**

题：求 `p → (p ∧ q)` 的主析取范式

解：

`p → (p ∧ q)`

⇔ `¬p ∨ (p ∧ q)`（消 `→`）

⇔ `(¬p ∧ (q ∨ ¬q)) ∨ (p ∧ q)`（`¬p` 缺 `q`，补 `q ∨ ¬q`）

⇔ `(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)`（分配律展开）

⇔ `m₁ ∨ m₀ ∨ m₃` ⇔ `m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`（下标从小到大排）

**对应极小项：**

*   `¬p ∧ ¬q` → `m₀`
    
*   `¬p ∧ q` → `m₁`
    
*   `p ∧ q` → `m₃`
    

**题型2：同时求主析取与主合取范式**

题：求 `p → q` 的主析取范式和主合取范式

**解：**

**① 先求主合取**

`p → q` ⇔ `¬p ∨ q`（消 `→`）

`¬p ∨ q` 已包含 `p`、`q` 各一次，是极大项。 `p=1, q=0` 时 `¬p ∨ q = 0`，故为 `M₂`。

主合取范式：`M₂`

**② 再求主析取（两种方法任选）**

**方法一：补元法**

`p → q` ⇔ `¬p ∨ q`

现在是析取范式，但两个坨都缺变量，分别补：

`¬p` ⇔ `¬p ∧ (q ∨ ¬q)`

⇔ `(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)` `q`

⇔ `q ∧ (p ∨ ¬p)`

⇔ `(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)`

合并：

⇔ `(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)`

⇔ `(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)`（`¬p ∧ q` 重复，幂等律合并）

⇔ `m₁ ∨ m₀ ∨ m₃` ⇔ `m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`

**方法二：下标互推法**

已得主合取为 `M₂`。 2 变元全集下标 {0,1,2,3}，减掉 {2}，剩 {0,1,3}。 主析取即 `m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`。

**最终答案：**

*   主析取范式：`m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`
    
*   主合取范式：`M₂`
    

* * *

### 五、主析取与主合取互推

总变元 n 个，全集下标为 {0, 1, 2, ..., 2ⁿ-1}。

*   **已知主合取下标 → 求主析取**：全集减掉极大项下标，剩下即极小项下标，用 `∨` 连接。
    
    *   例：2 变元，主合取 `M₂`，全集 {0,1,2,3} 减 {2} 得 {0,1,3}，主析取 `m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`
        
*   **已知主析取下标 → 求主合取**：同理，全集减极小项下标，剩下即极大项下标，用 `∧` 连接。
    

* * *

### 六、书写规范

*   极小项/极大项内部变量按 `p, q, r` 固定顺序写
    
*   最终答案下标必须从小到大排列：`m₀ ∨ m₁ ∨ m₃`，不写 `m₃ ∨ m₀ ∨ m₁`
    

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### 七、用主范式判断公式类型

*   **永真式**：主析取包含全部 `2ⁿ` 个极小项（即主析取 = 1）
    
*   **永假式**：主合取包含全部 `2ⁿ` 个极大项（即主合取 = 0）
    
*   **可满足式**：未占满全部下标，同时存在主析取和主合取范式
    

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### 八、求主析取范式的三种方法

1.  **等值补元法**：先化到析取范式，缺变量补 `x ∨ ¬x`，展开得极小项
    
2.  **下标互推法**：先求出主合取范式，用全集下标减法直接写出主析取
    
3.  **真值表法**：列出所有赋值，挑出使原式为 1 的行，写出对应极小项用 `∨` 连接（变元多时不推荐）