离散数学2.1-等值式

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一、有序对和笛卡尔积 1、有序对(序偶):由两个元素 x 和 y 按照确定顺序排列组成的二元组,记作⟨x, y⟩ 2、笛卡尔积:以 A 中元素为第一元、B 中元素为第二元,构造所有有序对⟨x,y⟩; 由全部这类有序对构成的集合,称为 A 与 B 的笛卡尔积,记作 AXB 例题: 已知 A={a,b}, B={0,1,2},求笛卡尔积 A × B、B × A A × B(前元取自 A,后元取自 B

1、集合的概念 N元子集:含有n个元素的子集叫做N元子集. 例题:已知集合 A={1,2,3},按元素个数对 A 的所有子集分类 0元子集:∅ 1元子集:{1}, {2}, {3} 2 元子集:{1,2}, {1,3}, {2,3} 3 元子集:{1,2,3} 幂集:设 A 为集合,由 A 的全部子集构成的集合称为 A 的幂集,记作P(A). 例题:A={1,2,3},求A的幂集 答案:P

一、基本元件 元件 符号 说明 例子 个体词 a, b, c... 代表具体对象(常元) a:小明 个体变元 x, y, z... 代表任意对象 x 表示论域中任一元素 谓词 P(x), Q(x,y)... 表示性质或关系 P(x):x是学生; L(x,y):x喜欢y 量词 ∀, ∃ 修饰个体范围 ∀x(所有x); ∃x(存在x) 连接词 ¬, ∧, ∨, →, ↔ 命

本质是"逻辑推导游戏",给定几个前提,用固定规则一步步推出结论。套路固定,背下规则就能拿分。 一、核心推理规则公式: 假言推理(MP)A→B, A ⇒ B肯定前件→肯定后件拒取式(MT)A→B, ¬B ⇒ ¬A否定后件→否定前件假言三段论(HS)A→B, B→C ⇒ A→C蕴含传递析取三段论(DS)A∨B, ¬A ⇒ B否定一边得另一边附加律A ⇒ A∨B或上一个随便什么化简律A∧B ⇒ A (或

定义:S是一个联结词集合,若任一个命题公式都可以由s中的联结词表示出来命题公式与之等价,则称S是一个联结词完备集。 也就是说一个连接词集合,能表达出所有真值函数,称为完备集 以下是完备集: S1={¬,∧,∨} —— 否定、合取、析取 S2={¬,∧,∨,→} —— 否定、合取、析取、蕴涵 S3={¬,∧,∨,→,↔} —— 否定、合取、析取、蕴涵、等价 S4={¬,∧} —— 否定、

等值式:若A⇔B为永真式,则称A、B是等值的记作A⇔B
| 名称 | 公式 | 直觉锚点 |
|---|---|---|
| 双重否定律 | ¬¬p ⇔ p |
否定两次回到原样 |
| 幂等律 | p ∨ p ⇔ p |
|
p ∧ p ⇔ p |
自己或自己、自己且自己,还是自己 | |
| 交换律 | p ∨ q ⇔ q ∨ p |
|
p ∧ q ⇔ q ∧ p |
顺序不影响结果 | |
| 结合律 | (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r) |
|
(p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r) |
连续或、连续且,括号随便放 | |
| 分配律 | p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r) |
|
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r) |
或对且分配、且对或分配,注意两条都成立 |
tips:其实就是括号外面有¬,直接分配律一套然后∧和∨符号互换
| 非号往里进,且变或 |
| 非号往里进,或变且 |
tips:其实就是括号外面符号和括号内不一致,直接化简为括号外的符号
| p 已经把 p∧q 包含在内,或上去直接吸收 |
| p 且上任何含 p 的或,还是 p 本身 |
核心思想把∧和∨可看成集合里的交集和并集,1看成全集(什么都包含),0则是空集,什么都没有
同一律 |
| p |
零律 |
| 同上 |
排中律 |
|
|
矛盾律 |
| 同上,两者取交集肯定是没有交集,空集 |
补元唯一性 | 若 | 这就是补元的定义(布尔代数里常用) |
一. 蕴含等值律:p → q ⇔ ¬p ∨ q
先问:p → q 什么时候为假?
只有一种情况:p 真且 q 假。
用符号写,就是 p ∧ ¬q。
这是蕴含的唯一反例。
既然反例是 p ∧ ¬q,那么“不是反例”就是 p → q 为真的情况。
因此:p → q ⇔ ¬(p ∧ ¬q)
对右边用德摩根律:¬(p ∧ ¬q) ⇔ ¬p ∨ ¬(¬q)
⇔ ¬p ∨ q (双重否定)
所以:p → q ⇔ ¬p ∨ q
一句口诀:蕴含就是把它的唯一反例否定掉,再用德摩根展开。
二. 等价等值律法:p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
定义本身就是推导,前后能互相推导
“p 与 q 等价”就是说:p 和 q 一模一样真。
那就必须满足两个条件:
p 真的时候,q 必须真 → p → q
q 真的时候,p 必须真 → q → p
两者同时成立,才是等价。
所以:p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
如果你愿意,可以进一步把两个蕴含都换成 ¬p ∨ q 的形式,得到合取范式。
三. 假言易位律:p → q ⇔ ¬q → ¬p
四.归谬论:(p → q) ∧ (p → ¬q) ⇔ ¬p
双重否定律 ¬¬p ⇔ p
幂等律 p ∨ p ⇔ p幂等律 p ∧ p ⇔ p
交换律 p ∨ q ⇔ q ∨ p交换律 p ∧ q ⇔ q ∧ p
结合律 (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)结合律 (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
分配律 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)分配律 p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
德摩根律 ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q德摩根律 ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
吸收律 p ∨ (p ∧ q) ⇔ p吸收律 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
同一律 p ∨ 0 ⇔ p同一律 p ∧ 1 ⇔ p
零律 p ∨ 1 ⇔ 1零律 p ∧ 0 ⇔ 0
排中律 p ∨ ¬p ⇔ 1
矛盾律 p ∧ ¬p ⇔ 0
蕴含等值式 p → q ⇔ ¬p ∨ q
等价等值式 p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
等价析取形式 p ↔ q ⇔ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
假言易位 p → q ⇔ ¬q → ¬p
等价否定 p ↔ q ⇔ ¬p ↔ ¬q
归谬论 (p → q) ∧ (p → ¬q) ⇔ ¬p
归谬论 (¬p → q) ∧ (¬p → ¬q) ⇔ p
输出律 (p ∧ q) → r ⇔ p → (q → r)