离散数学3-命题逻辑推理理论

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一、有序对和笛卡尔积 1、有序对(序偶):由两个元素 x 和 y 按照确定顺序排列组成的二元组,记作⟨x, y⟩ 2、笛卡尔积:以 A 中元素为第一元、B 中元素为第二元,构造所有有序对⟨x,y⟩; 由全部这类有序对构成的集合,称为 A 与 B 的笛卡尔积,记作 AXB 例题: 已知 A={a,b}, B={0,1,2},求笛卡尔积 A × B、B × A A × B(前元取自 A,后元取自 B

1、集合的概念 N元子集:含有n个元素的子集叫做N元子集. 例题:已知集合 A={1,2,3},按元素个数对 A 的所有子集分类 0元子集:∅ 1元子集:{1}, {2}, {3} 2 元子集:{1,2}, {1,3}, {2,3} 3 元子集:{1,2,3} 幂集:设 A 为集合,由 A 的全部子集构成的集合称为 A 的幂集,记作P(A). 例题:A={1,2,3},求A的幂集 答案:P

一、基本元件 元件 符号 说明 例子 个体词 a, b, c... 代表具体对象(常元) a:小明 个体变元 x, y, z... 代表任意对象 x 表示论域中任一元素 谓词 P(x), Q(x,y)... 表示性质或关系 P(x):x是学生; L(x,y):x喜欢y 量词 ∀, ∃ 修饰个体范围 ∀x(所有x); ∃x(存在x) 连接词 ¬, ∧, ∨, →, ↔ 命

定义:S是一个联结词集合,若任一个命题公式都可以由s中的联结词表示出来命题公式与之等价,则称S是一个联结词完备集。 也就是说一个连接词集合,能表达出所有真值函数,称为完备集 以下是完备集: S1={¬,∧,∨} —— 否定、合取、析取 S2={¬,∧,∨,→} —— 否定、合取、析取、蕴涵 S3={¬,∧,∨,→,↔} —— 否定、合取、析取、蕴涵、等价 S4={¬,∧} —— 否定、

本质是"逻辑推导游戏",给定几个前提,用固定规则一步步推出结论。套路固定,背下规则就能拿分。
假言推理(MP) | A→B, A ⇒ B | 肯定前件→肯定后件 |
拒取式(MT) | A→B, ¬B ⇒ ¬A | 否定后件→否定前件 |
假言三段论(HS) | A→B, B→C ⇒ A→C | 蕴含传递 |
析取三段论(DS) | A∨B, ¬A ⇒ B | 否定一边得另一边 |
附加律 | A ⇒ A∨B | 或上一个随便什么 |
化简律 | A∧B ⇒ A (或 ⇒ B) | 拆开且 |
合取引入 | A, B ⇒ A∧B | 两个真拼一起 |
构造性二难 | A∨B, A→C, B→C ⇒ C | 分情况讨论 |
一句话理解每条规则
假言推理 (MP):A→B, A ⇒ B
▎ "如果下雨地就湿" + "下雨了" → 地湿了
就是你有了蕴含关系,现在前件真的发生了,后件必然发生。最自然的推理方式。
拒取式 (MT):A→B, ¬B ⇒ ¬A
▎ "如果下雨地就湿" + "地没湿" → 没下雨
后件没发生,说明前件不可能发生。反过来说"地湿了→下雨了"是错的(可能洒水),但"地没湿→没下雨"一定对。
假言三段论 (HS):A→B, B→C ⇒ A→C
▎ "下雨→地湿" + "地湿→路滑" → "下雨→路滑"
蕴含关系的传递。两个箭头首尾相连,可以把中间项消掉。
析取三段论 (DS):A∨B, ¬A ⇒ B
▎ "要么喝茶要么喝咖啡" + "不喝茶" → 喝咖啡
二选一,否定了一个,只能选另一个。排除法。
附加律:A ⇒ A∨B
▎ "今天下雨" → "今天下雨或者中彩票"
一个真命题,或上任何东西都还是真。因为析取只要有一个为真就为真。
化简律:A∧B ⇒ A
▎ "下雨且刮风" → "下雨"
合取为真意味着两边都真,单独拆出一个当然真。
合取引入:A, B ⇒ A∧B
▎ "下雨"是真的 + "刮风"是真的 → "下雨且刮风"是真的
化简律的反向操作。两个分别成立的命题,可以拼成合取。
构造性二难:A∨B, A→C, B→C ⇒ C
▎ "要么坐公交要么打车" + "坐公交会迟到" + "打车也会迟到" → 反正迟到
两个选项都导致同一个结果,那不管你选哪个,结果都跑不掉。分情况讨论的最终结论。
核心就两条
80%的题只用 MP 和 MT:
MP: 有蕴含 + 前件发生 → 推出后件 MT: 有蕴含 + 后件没发生 → 推出前件没发生
其他六条是辅助。做题的时候就问自己:
▎ 我现在手里有哪些"已知为真"的命题?我能用哪条规则从它们"合法地"产生一个新的真命题?
每次只推一步,推到最后一行恰好是你想证的结论,就完成了。
tips:前提:首先先给题目翻译,变成符号化再进行下一步的推理
例题1
前提:
P → (Q ∧ R)
¬Q
证明: ¬P
证明过程:
1
P → (Q ∧ R)
前提
2
Q ∧ R → Q
重言式(简化律)
3
P → Q
1, 2 假言三段论
4
¬Q
前提
5
¬P
3, 4 拒取式
在进行第二个例题之前,我们先了解一个概念:合取引入
在进行一些特殊题型的时候,为了后面的推导,我们需要在对于以下
Q ∨ R,¬Q, ¬R 这种情况的时候需要使用到合取引入的操作
具体为把Q ∨ R 转换成¬Q ∧ ¬R,一般这步之后会跟摩根律的使用,接下来我们来看看例题
例题2
前提:
P → (Q ∨ R)
¬Q
¬R
证明:¬P
证明过程:
步骤 公式 理由 这一步到底在说什么 1 ¬Q 前提 Q 是假的 2 ¬R 前提 R 也是假的 3 ¬Q ∧ ¬R 由 1、2,合取引入 既然 Q 假而且 R 假,那“Q假 且 R假”就是真的 4 ¬(Q ∨ R) 由 3,德摩根律 “Q假且R假” 这句话换个说法就是“并非(Q真或R真)”。换句话说,Q ∨ R 整个是假的 5 P → (Q ∨ R) 前提 如果 P 真,那么 Q ∨ R 必须真 6 ¬P 由 4、5,拒取式 现在 Q ∨ R 是假的,所以 P 不能真(否则会推出假的 Q ∨ R)。所以 P 是假的
我们再来看一道相反的镜像题,巩固一下
例题3
前提:
P → (Q ∧ R)
¬Q ∨ ¬R
证明: ¬P
证明过程:
步骤 公式 理由 1 ¬Q ∨ ¬R 前提 2 ¬(Q ∧ R) 由 1,德摩根律 3 P → (Q ∧ R) 前提 4 ¬P 由 2、3,拒取式