离散数学1-命题的基本逻辑和概念
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确定性世界里，一个被允许的异常
离散数学-命题的基本逻辑和概念
一、命题的定义
核心定义
可以判断真假、有唯一真值（要么真、要么假，二者必居其一）的陈述句，叫做命题。
典型例题解析
| 例题内容 | 是否为命题 | 核心理由 |
|---|---|---|
| 北京是中国首都。 | 是 | 陈述句，真值确定 |
| 小张是个大学生。 | 是 | 陈述句，小张 “是 / 不是” 大学生为定值，仅真值暂未验证（同理：地球以外的星球上有人） |
| 请关门！ | 否 | 祈使句（小技巧：带？和！的语句均非命题，因命题需是陈述句） |
| 2x+4 ≥ 10 | 否 | 真值随 x 取值变化，无固定唯一真值，属于开语句（条件语句） |
| 我正在说假话。 | 否 | 逻辑悖论（假设真则推假，假设假则推真），无真值 |
二、命题连接词
1. 核心连接词对照表
| 自然语言叫法 | 标准逻辑名 | 数学符号 | C 语言表达式 | 真值规则 | 补充说明 |
|---|---|---|---|---|---|
| 非 | 否定联结词 | ¬P | !P | 真假翻转 | - |
| 并且 | 合取联结词 | P∧Q | P && Q | 全真才真，一假即假 | - |
| 或 | 析取联结词 | P∨Q | A |
B |
|
| 如果… 则… | 蕴含 / 条件联结词 | P→Q | !(P) |
Q |
|
| 当且仅当 | 等价 / 双条件联结词 | P↔Q | P == Q | 真假相同为真，不同为假 | 对应充要条件 |
| 异或（排斥或） | 异或联结词 | P⊕Q | P != Q | 一真一假为真，相同为假 | 条件不可同时成立 |
| 与非 | 与非联结词 | ¬(P∧Q) | !(P && Q) | 全真输出假，其余为真 | |
| 或非 | 或非联结词 | ¬(P∨Q) | !(A | B) |
2. 运算优先级
$$\neg > \land > \lor > \rightarrow,\leftrightarrow$$
3. 命题符号化实例
| 自然语言命题 | 设元说明 | 符号化结果 | 核心要点 |
|---|---|---|---|
| √2 是无理数。 | p: √2 是无理数 | p | 单一命题直接设元 |
| √2 和 √5 都是无理数。 | p: √2 是无理数；q: √5 是无理数 | \(p \land q\) | “都” 对应合取联结词 |
| √2 和 √5 的乘积是无理数。 | p: √2・√5 是无理数 | p | 自然语言 “和”≠逻辑 “∧” |
| 小丽喜欢唱歌或者喜欢跳舞。 | p: 小丽喜欢唱歌；q: 小丽喜欢跳舞 | \(p \lor q\) | 可同时成立，用析取 |
| 今天晚上九点钟小丽看书或者打球。 | p: 今晚九点小丽看书；q: 今晚九点小丽打球 | p⊕q 或 (p∧¬q)∨(¬p∧q) | 不可同时成立，用异或 |
| 如果天气好，我就去公园。 | |||
| 只要天气好，我就去公园。 | p: 天气好；q: 我去公园 | \(p \rightarrow \) q | “如果 / 只要 A 就 B”：A 是充分条件 |
| 只有天气好，我才会去公园。 | |||
| 仅当天气好，我才去公园。 | p: 天气好；q: 我去公园 | \(q \rightarrow p\) | “只有 / 仅当 A 才 B”：A 是必要条件 |
| 经一事，长一事，并且不经一事，不长一事。 | p: 经一事；q: 长一智 | \(p \rightarrow q \land q \rightarrow p\)（等价于\(p \leftrightarrow q\)） | 前后互为充要条件 |
| 天津是直辖市的充要条件是 2+3=5。 | p: 天津是直辖市；q: 2+3=5 | \(p \leftrightarrow q\) | “充要条件” 对应等价联结词 |
三、公式类型
| 公式类型 | 定义 |
|---|---|
| 重言式（永真式） | 无论命题变元（p/q 等）取 0（假）还是 1（真），公式真值永远为 1（真） |
| 矛盾式（永假式） | 无论命题变元取 0 还是 1，公式真值永远为 0（假） |
| 可满足式 | 存在至少一组命题变元赋值，使公式真值为 1（包含重言式；一般指 “有真有假”） |
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