离散数学2.3-联结词的完备集

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一、有序对和笛卡尔积 1、有序对(序偶):由两个元素 x 和 y 按照确定顺序排列组成的二元组,记作⟨x, y⟩ 2、笛卡尔积:以 A 中元素为第一元、B 中元素为第二元,构造所有有序对⟨x,y⟩; 由全部这类有序对构成的集合,称为 A 与 B 的笛卡尔积,记作 AXB 例题: 已知 A={a,b}, B={0,1,2},求笛卡尔积 A × B、B × A A × B(前元取自 A,后元取自 B

1、集合的概念 N元子集:含有n个元素的子集叫做N元子集. 例题:已知集合 A={1,2,3},按元素个数对 A 的所有子集分类 0元子集:∅ 1元子集:{1}, {2}, {3} 2 元子集:{1,2}, {1,3}, {2,3} 3 元子集:{1,2,3} 幂集:设 A 为集合,由 A 的全部子集构成的集合称为 A 的幂集,记作P(A). 例题:A={1,2,3},求A的幂集 答案:P

一、基本元件 元件 符号 说明 例子 个体词 a, b, c... 代表具体对象(常元) a:小明 个体变元 x, y, z... 代表任意对象 x 表示论域中任一元素 谓词 P(x), Q(x,y)... 表示性质或关系 P(x):x是学生; L(x,y):x喜欢y 量词 ∀, ∃ 修饰个体范围 ∀x(所有x); ∃x(存在x) 连接词 ¬, ∧, ∨, →, ↔ 命

本质是"逻辑推导游戏",给定几个前提,用固定规则一步步推出结论。套路固定,背下规则就能拿分。 一、核心推理规则公式: 假言推理(MP)A→B, A ⇒ B肯定前件→肯定后件拒取式(MT)A→B, ¬B ⇒ ¬A否定后件→否定前件假言三段论(HS)A→B, B→C ⇒ A→C蕴含传递析取三段论(DS)A∨B, ¬A ⇒ B否定一边得另一边附加律A ⇒ A∨B或上一个随便什么化简律A∧B ⇒ A (或

也就是说一个连接词集合,能表达出所有真值函数,称为完备集
S1={¬,∧,∨} —— 否定、合取、析取
S2={¬,∧,∨,→} —— 否定、合取、析取、蕴涵
S3={¬,∧,∨,→,↔} —— 否定、合取、析取、蕴涵、等价
S4={¬,∧} —— 否定、合取
S5={¬,∨} —— 否定、析取
S6={¬,→} —— 否定、蕴涵
S7={↑} —— 与非(Sheffer 竖线)
S8={↓} —— 或非(Peirce 箭头)
一、与非 ↑
公式:p↑q ⟺¬(p∧q)
tips:记忆技巧,中间连接符方向和箭头一致
真值规则:只有 p、q 全为 1 时,结果才是 0;其余情况全为 1
只用 ↑ 表示全部基础联结词(完备集)
否定:¬p ⟺p↑p
推导:p↑p⟺¬(p∧p)⟺¬p
合取:p∧q ⟺(p↑q)↑(p↑q)
推导:(定义) :p↑q ⟺¬(p∧q)
两边同时取否定 :¬(p↑q)⟺¬¬(p∧q)⟺p∧q
已证 :¬A ⟺A↑A,令 A=p↑q,得
p∧q⟺(p↑q)↑(p↑q)
析取:p∨q ⟺(p↑p)↑(q↑q)
推导:
德摩根律把 ∨ 转成 ∧ 和 ¬:p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
右边恰好是 ↑ 的形式:¬(¬p ∧ ¬q) ⇔ ¬p ↑ ¬q
已知¬A ⇔ A ↑ A,带入得(p↑p)↑(q↑q)
蕴涵:p→q⟺p↑(q↑q)
蕴含等值式:p→q ⟺¬p∨q
德摩根律:¬p∨q ⟺¬(p∧¬q)
右边符合 ↑ 的形式:¬(p∧¬q) ⟺p↑¬q
已证 ¬q ⟺ q↑q¬q⟺q↑q,代入:p→q ⟺p↑(q↑q)
二、或非 ↓
公式:p↓q ⟺¬(p∨q)
tips:记忆技巧,中间连接符方向和箭头一致
真值规则:只有 p、q 全为 0 时,结果才是 1;其余情况全为 0
只用 ↓ 表示全部基础联结词(完备集)
否定:¬p⟺ p↓p
推导: p↓p⟺¬(p∨p)⟺¬p
合取:p∧q ⟺(p↓p)↓(q↓q)
由德摩根律:
p∧q ⟺¬(¬p∨¬q)
右边正是 ↓ 的形式:
¬(¬p∨¬q) ¬p↓¬q
已证 ¬A ⟺A↓A,代入 ¬p¬p 和 ¬q¬q:
p∧q ⟺(p↓p)↓(q↓q)
析取:p∨q ⟺(p↓q)↓(p↓q)
p∨q⟺¬(p↓q)
再用否定式 ¬A ⟺A↓A,令 A=p↓q:
p∨q ⟺(p↓q)↓(p↓q)
蕴涵:p → q ⇔ p ↑ (q ↑ q)
p→q ⟺¬p∨q
用析取的 ↓ 表示(令 A=¬p,B=q):
¬p∨q ⟺(¬p↓q)↓(¬p↓q)
代入 ¬p⟺p↓p:
p→q ⟺((p↓p)↓q)↓((p↓p)↓q)